数值分析例题汇总

例1 第7页

近似计算 \(\int_{0}^{1}e^{-x^{2}}dx\approx 0.743\)

解：将 \(e^{-x^{2}}\) 作幂级数展开后再积分

取 \(S_4 = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{10} - \frac{1}{42}\)，得 \(1 - 0.333 + 0.1 - 0.024 = 0.743\)。

截断误差 \(R_4 = \frac{1}{4!}\times \frac{1}{9} - \frac{1}{5!}\times \frac{1}{11} + \dots\)；舍入误差由计算过程产生。

例2 第9页

设 \(x = 10\pm 1, y = 10000\pm 5\)，则 \(x^* = 10, \epsilon_{x^*} = 1\)；\(y^* = 10000, \epsilon_{y^*} = 5\)。

虽然 \(\epsilon_{y^*}\) 是 \(\epsilon_{x^*}\) 的 5 倍，但在 10000 内差 5 显然比 10 内差 1 好。

说明：绝对误差限还不能完全表示近似值的好坏，还需要看测量本身的大小。

例3 第10页

设 \(x^* = 1.24\) 是由精确值 \(x\) 经过四舍五入得到的近似值，求 \(x^*\) 的绝对误差限和相对误差限。

解：由已知可得 \(1.235 \leq x < 1.245\)

所以 \(\epsilon = 0.005, \epsilon_r = 0.005 \div 1.24 \approx 0.4\%\)

注：一般地，凡是由精确值经过四舍五入原则得到的近似值，其绝对误差限不超过该近似值末位的半个单位。

例5 第11页

\(\pi = 3.1415926535897932\dots ; \pi^* = 3.1415\)

问：\(\pi^*\) 有几位有效数字？请证明你的结论。

证明：\(\pi^* = 3.1415\)，且 \(|\pi^* - \pi| < 0.5\times 10^{-3} = 0.5\times 10^{0-4+1}\)

所以 \(\pi^*\) 有 4 位有效数字，精确到小数点后 3 位。

课后练习讲评 第1页

1. 已知 \(x = 3.1927 \times 10^{-2}\)，近似值为 \(x^* = 3.13 \times 10^{-2}\)，求 \(x^*\) 有几位有效数字？
2. 若 \(x^* = 0.0023156\) 是 \(x\) 的具有 5 位有效数字的近似值，那么其误差限是多少？相对误差限是多少？

单选题 第2页

1. 已知 \(x = 6.0917\times 10^{-4}\)，近似值为 \(x^* = 6.13\times 10^{-4}\)，求 \(x^*\) 有几位有效数字？

思考题 第3页

\(\sqrt{5}\) 的近似数有 2 位有效数字，则该近似数的相对误差限是多少？

例 第6页

设 \(x = 10 \pm 5\%\)，试求函数 \(f(x) = \sqrt[n]{x}\) 的相对误差限。

解：近似值 \(x^* = 10\)，绝对误差限 \(\epsilon(x^*) = 5\%\)

单选题 第6页

若一批正方形玩具的边长为 \(L = 4 \pm 0.1\)，问这批正方形玩具的面积相对误差限为（　）

练习 第7页

若一批正方形玩具的边长为 \(L = 4 \pm 0.1\)，问这批正方形玩具的面积相对误差限为（　）

解：由题意得 \(L^* = 4, \epsilon^* = 0.1\)

思考：如果是求长方形面积误差限呢？多元函数的误差限估计有相应的结论吗？

例8 第10页

计算 \(I_n = \frac{1}{e}\int_{0}^{1}x^n e^x dx\)，注意此公式精确成立。

公式一：\(I_n = 1 - n I_{n-1}\)

初始误差 \(|E_0| = |I_0 - I_0^*| < 0.5\times 10^{-8}\)

计算结果：

误差分析：\(|E_n| = n|E_{n-1}| = \dots = n!|E_0|\)

可见初始小扰动迅速积累，误差呈递增走势，该算法数值不稳定。

公式二 第11页

\(I_n = 1 - n I_{n-1} \Rightarrow I_{n-1} = \frac{1}{n}(1 - I_n)\)

先估计 \(I_N\)，再反推 \(I_n (n \ll N)\)。取

递推：

误差分析：\(|E_{n-1}| = \frac{1}{N}|E_N|\)，对 \(n < N\) 有 \(|E_n| = \frac{1}{(n+1)\dots(N-1)N}|E_N|\)，误差逐步递减，算法稳定。

取 \(I_{15}^* = \frac{1}{2}\left[\frac{1}{e\cdot 16} + \frac{1}{16}\right] \approx 0.042746233\)

反推得：

定义1.1：一个算法如果输入的数据有误差，而在计算过程中舍入误差不增长，则称此算法是数值稳定的，否则称此算法为不稳定的。

病态问题与条件数 第12页

例如取 \(f(x) = x^n\)，则条件数为 \(C_p = \left|\frac{x\cdot n x^{n-1}}{x^n}\right| = n\)

取 \(n = 10\)，有 \(f(1) = 1, f(1.02) = 1.24\)

可以看出自变量 \(x\) 的相对误差为 \(2\%\)，而函数值的相对误差为 \(24\%\)，这可以认为是一个病态问题。

注：当 \(C_p \geq 10\) 一般就认为是病态问题，并且 \(C_p\) 越大病态越严重；病态问题不是计算方法引起的，是数值问题自身固有的。

避免误差危害的若干原则 第13页

② 避免相近二数相减，几种经验性避免方法：

当 \(|x| \ll 1\) 时：\(1 - \cos x = 2\sin^2\frac{x}{2}\)；\(e^x - 1 = x\left(1 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{6}x^2 + \dots\right)\)；\(\frac{1 - \cos x}{\sin x} = \frac{\sin x}{1 + \cos x}\)

③ 避免小分母：分母小会造成舍入误差增大。

④ 避免大数吃小数

⑤ 先化简再计算，减少步骤，避免误差积累。

课后练习点评 第1页

1. \(x^*\) 是 \(\sqrt{3}\) 具有 5 位有效数字的近似数，请问其误差限和相对误差限是多少？
2. 若正方形的边长为 \(L = 8\pm 0.2\)，问该正方形的面积相对误差限为多少？
3. 若使计算立方体的体积的相对误差限为 0.03，则测量立方体棱长的相对误差限为多少？

例1 第6页

求方程 \(3x - 1 - \cos x = 0\) 的有根区间。

解：方程等价变形为 \(3x - 1 = \cos x\)，\(y = 3x - 1\) 与 \(y = \cos x\) 的图像只有一个交点位于 \([0.5, 1]\) 内。

例2 第7页

求方程 \(f(x) = x^3 - 11.1x^2 + 38.8x - 41.77 = 0\) 的有根区间。

解：计算结果：

由此可知方程的有根区间为 \([2,3],[3,4],[5,6]\)。

例3 第8页

用二分法求方程 \(x^3 - x - 1 = 0\) 在区间 \([1,1.5]\) 上的根，精确到小数点后两位，即误差限为 \(\epsilon = 0.5 \times 10^{-2}\)，问至少需对分多少次？

解：\(a = 1, b = 1.5, \epsilon = 0.5 \times 10^{-2}\)

所以 \(k = 6\)。

例3（续） 第9页

求方程 \(f(x) = x^3 - x - 1 = 0\) 在区间 \([1.0, 1.5]\) 内的一个实根，要求准确到小数点后第 2 位。

解：\(a=1.0, b=1.5, f(a)<0, f(b)>0\)，迭代过程：

\(k=6\)。

例5 第10页

求方程 \(f(x) = x^3 - x - 1 = 0\) 在 \(x_0 = 1.5\) 附近的根 \(x^*\)。

解：构造迭代格式。

方法一：\(x = \sqrt[3]{x+1}\)，迭代函数 \(\phi_1(x) = \sqrt[3]{x+1}\)，迭代格式 \(x_{k+1} = \sqrt[3]{x_k+1}\)，取初值 \(x_0=1.5\)。

迭代结果：

例5（续） 第11页

方法二：\(x = x^3 - 1\)，迭代函数 \(\phi_2(x) = x^3 - 1\)，迭代格式 \(x_{k+1} = x_k^3 - 1\)，取初值 \(x_0 = 1.5\)。

迭代结果：

例5（续） 第14页

判断迭代法在区间 \([1,2]\) 上的收敛性。

方法一：\(\phi_1(x) = \sqrt[3]{x+1}\)，\(\phi_1'(x) = \frac{1}{3(x+1)^{2/3}}\)，在 \([1,2]\) 上 \(|\phi_1'(x)| \leq \frac{1}{3}(\frac{1}{4})^{1/3} < 1\)，且 \(1 \leq \sqrt[3]{2} \leq \phi_1(x) \leq \sqrt[3]{3} \leq 2\)，所以迭代法收敛。

方法二：\(\phi_2(x) = x^3 - 1\)，\(\phi_2'(x) = 3x^2\)，在 \([1,2]\) 上 \(|\phi_2'(x)| > 1\)，不满足定理条件。

课后雨课堂练习点评 第2页

1. 用二分法求方程 \(f(x) = x^3 + x - 1 = 0\) 在区间 \([0,1]\) 内的根进行两步后根所在区间为 \([a_2, b_2]\)，则 \(a_2 = \_\_\_\)，\(b_2 = \_\_\_\)（用小数表示保留三位有效数字）。如果要使根的误差 \(\epsilon = 0.5 \times 10^{-2}\)，则至少需要进行二分 \_\_\_ 次。

解析：\(f(0) = -1, f(1) = 1\)

\(k=1: f(1/2) = -3/8 < 0, [1/2, 1]\)

\(k=2: f(3/4) = 11/64 > 0, [1/2, 3/4]\)

保留三位有效数字为 \([0.500, 0.750]\)

第4题 第3页

用不动点迭代法求方程 \(x^2 - 3 = 0\) 的根 \(\sqrt{3}\)。

若构造迭代 \(x_{k+1} = x_k - \frac{1}{2}(x_k^2 - 3)\)，判断迭代法在有根区间 \([1,3]\) 上全局收敛性。

解析：迭代函数 \(\phi(x) = x - \frac{1}{2}(x^2 - 3)\)，导数 \(\phi'(x) = 1 - x\)，\(|\phi'(x)| \leq 2\)，因此不能确定是否全局收敛。

若构造格式 \(x_{k+1} = x_k - \frac{1}{4}(x_k^2 - 3)\)，迭代函数 \(\phi(x) = x - \frac{1}{4}(x^2 - 3)\)，\(1 < \frac{3}{2} \leq \phi(x) \leq \frac{7}{4} < 3\)，导数 \(\phi'(x) = 1 - \frac{1}{2}x\)，\(|\phi'(x)| \leq \frac{1}{2}\)，因此全局收敛。

例6 第6页

用不同的迭代方法求方程 \(x^2 - 3 = 0\) 的根 \(x^* = \sqrt{3}\)。

构造不同的迭代法：

1. \(x_{k+1} = x_k^2 + x_k - 3\)，\(\phi'(x) = 2x + 1\)，\(\phi'(\sqrt{3}) = 2\sqrt{3} + 1 > 1\)。
2. \(x_{k+1} = \frac{3}{x_k}\)，\(\phi'(x) = -\frac{3}{x^2}\)，\(\phi'(\sqrt{3}) = -1\)。
3. \(x_{k+1} = x_k - \frac{1}{4}(x_k^2 - 3)\)，\(\phi'(x) = 1 - \frac{1}{2}x\)，\(\phi'(\sqrt{3}) = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.134 < 1\)。
4. \(x_{k+1} = \frac{1}{2}(x_k + \frac{3}{x_k})\)，\(\phi'(x) = \frac{1}{2}(1 - \frac{3}{x^2})\)，\(\phi'(\sqrt{3}) = 0\)。

取 \(x_0 = 2\)，迭代三步结果：

迭代法(1)(2)不收敛，迭代法(3)(4)收敛，且(4)比(3)收敛快。

例6（续） 第8页

判断迭代法(3)和(4)的收敛阶。

迭代法(3)：\(\phi'(x^*) \neq 0\)，所以为线性收敛。

迭代法(4)：\(\phi'(x^*) = 0\)，\(\phi''(x^*) = \frac{1}{\sqrt{3}} \neq 0\)，所以该迭代为平方收敛。

填空题 第8页

用不动点迭代法求方程 \(x^2 - 2 = 0\) 的根 \(\sqrt{2}\)，如果构造迭代法为 \(x_{k+1} = x_k - \frac{1}{4}(x_k^2 - 2)\)，则判断迭代法在有根区间 \([1,3]\) 上全局收敛性和局部收敛性。

解析：全局收敛性：不能确定；局部收敛性：收敛。

填空题 第9-10页

用不动点迭代法求方程 \(x^2 - 5 = 0\) 的根 \(\sqrt{5}\)，如果构造迭代法为 \(x_{k+1} = \frac{1}{2}(x_k + \frac{5}{x_k})\)，则判断迭代法局部收敛性 \_\_\_，并计算其收敛阶 \_\_\_。

解析：\(\phi'(x) = \frac{1}{2} - \frac{5}{2x^2}\)，\(\phi'(\sqrt{5}) = 0 < 1\)，因此局部收敛。

\(\phi''(x) = \frac{5}{x^3}\)，\(\phi''(\sqrt{5}) = \frac{5}{\sqrt{5}^3} \neq 0\)，因此收敛阶为 2。

典型习题分析 第11页

1. 设 \(x > 0\)，\(x\) 的相对误差为 \(\delta\)，求 \(\ln x\) 的误差。

解：设 \(f(x) = \ln x\)，则 \(f'(x) = \frac{1}{x}\)，

\(e^*(f(x^*)) \approx f'(x^*) e^*(x^*) = \frac{e^*(x^*)}{x^*} = \delta\)。

典型习题分析 第11页

5. 计算球体积要使相对误差限为 1%，问度量半径 \(R\) 时允许的相对误差限是多少？

解：由题目条件得 \(\epsilon_r^*(V(R^*)) = 1\%\)

所以 \(\epsilon_r^*(R^*) = \frac{1}{300}\)。

典型习题分析 第12页

10. 设 \(S = \frac{1}{2}gt^2\)，假定 \(g\) 是准确的，而对 \(t\) 的测量有 \(\pm 0.1\) 秒的误差，证明当 \(t\) 增大时 \(S\) 的绝对误差增大，而相对误差却减小。

解：\(e^*(S(t^*)) \approx S'(t^*)e^*(t^*) = gt^*e^*(t^*)\)

\(\epsilon^*(S(t^*)) \approx |S'(t^*)|\epsilon^*(t^*) = gt^*\epsilon^*(t^*) = 0.1gt^*\)

\(\epsilon_r^*(S(t^*)) \approx \frac{S'(t^*)\epsilon^*(t^*)}{S(t^*)} = \frac{gt^*\epsilon^*(t^*)}{\frac{1}{2}g(t^*)^2} = \frac{2\epsilon^*(t^*)}{t^*} = \frac{0.2}{t^*}\)

课后练习点评 第1页

2. 已知 \(\phi(x) = x + \alpha(x^2 - 3)\)，迭代格式 \(x_{k+1} = \phi(x_k)\) 当 \(\alpha\) 取值范围是（　）时局部收敛到 \(x^* = \sqrt{3}\)。

解析：\(\phi'(x) = 1 + 2\alpha x\)，要使格式局部收敛则 \(|\phi'(\sqrt{3})| < 1\)，即 \(|1 - 2\alpha\sqrt{3}| < 1\)，解得 \(-\frac{1}{\sqrt{3}} < \alpha < 0\)。

课后练习点评 第2页

3. 迭代法 \(x_{k+1} = \frac{2}{3}x_k + \frac{1}{x_k^2}\) 局部收敛于 \(x^* = \sqrt[3]{3}\)，则此格式是（　）阶收敛的。

解析：\(\phi(x) = \frac{2}{3}x + \frac{1}{x^2}\)，\(\phi'(x) = \frac{2}{3} - \frac{2}{x^3}\)，\(\phi'(\sqrt[3]{3}) = 0\)，\(\phi''(x) = \frac{3}{x^4}\)，\(|\phi''(\sqrt[3]{3})| \neq 0\)，所以是 2 阶收敛。

例1 第5页

用牛顿法解方程 \(xe^x - 1 = 0\)。

解：牛顿迭代公式为 \(x_{k+1} = x_k - \frac{x_k - e^{-x_k}}{1 + x_k}\)，取 \(x_0 = 0.5\)。

迭代结果：

例3 第5页

设 \(f(x) = (x^3 - a)^2\)，(1) 写出解 \(f(x) = 0\) 的牛顿迭代格式，(2) 给出并证明格式的收敛阶。

解：牛顿迭代格式为 \(x_{k+1} = x_k - \frac{x_k^3 - a}{6x_k^2}\)。

迭代函数 \(\phi(x) = x - \frac{x^3 - a}{6x^2}\)，\(\phi'(x) = 1 - \frac{1}{6}(1 + \frac{2a}{x^3})\)，\(\phi'(\sqrt[3]{a}) = \frac{1}{2} < 1\)，故收敛阶为 1 阶。

例5 第8页

方程 \(x^4 - 4x^2 + 4 = 0\) 的根 \(x^* = \sqrt{2}\) 是二重根，用三种方法求根。

解：

1）牛顿法：\(x_{k+1} = x_k - \frac{x_k^2 - 2}{4x_k}\)

2）改进1（\(m=2\)）：\(x_{k+1} = x_k - \frac{x_k^2 - 2}{2x_k}\)

3）改进2：\(x_{k+1} = x_k - \frac{x_k(x_k^2 - 2)}{x_k^2 + 2}\)

取初值 \(x_0 = 1.5\)，计算结果：

经过三步计算，方法(2)及(3)均达到 10 位有效数字，而牛顿法只有线性收敛。

引例 第1页

解线性方程组：

例 第9页

解方程组：

解：消元过程得到：

回代得：\(x_2 = \frac{-3 + 3x_3}{3} = 2\)，\(x_1 = \frac{7 - x_2 - x_3}{2} = 1\)。

例3 第11页

求矩阵 \(A = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 10 \end{bmatrix}\) 的 LU 分解。

解：

取 \(L_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ -3 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)，则 \(L_1 A = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 0 & -3 & -6 \\ 0 & -6 & -11 \end{bmatrix}\)。

再取 \(L_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \end{bmatrix}\)，则 \(L_2 L_1 A = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 0 & -3 & -6 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = U\)。

\(A = L_1^{-1} L_2^{-1} U = LU\)，其中 \(L = L_1^{-1} L_2^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix}\)。

练习 第12页

求矩阵 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 4 & -1 \\ 2 & -2 & 1 \end{pmatrix}\) 的 LU 分解。

课后练习讲评 第2页

求矩阵 \(A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 2 & 3 & 4 \end{bmatrix}\) 的 LU 分解并计算 A 的行列式。

解：

取 \(L_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)，则 \(L_1 A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 3 \end{bmatrix}\)。

再取 \(L_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}\)，则 \(L_2 L_1 A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} = U\)。

\(|A| = |U| = 6\)。

例4 第5页

求解方程组：

用 4 位浮点数进行计算。精确解舍入到 4 位有效数字为 \(x^* = (-0.4904, -0.05104, 0.3675)^T\)。

解法1（高斯消去法）计算解为 \(\overline{x} = (-0.4000, -0.09980, 0.4000)^T\)。

解法2（列主元消去法）得到 \(x^* = (-0.4904, -0.05104, 0.3675)^T\)。

练习 第7页

用列主元消去法求解线性方程组：

并求出系数矩阵 A 的行列式。

解：\(x = (1,1,1)^T\)，\(|A| = 20\)。

例5 第10页

用直接三角分解法解：

解：计算得 \(l_{32} = (a_{32} - l_{31}u_{12})/u_{22} = (1 - 3\times 2)/1 = -5\)，

\(u_{33} = a_{33} - l_{31}u_{13} - l_{32}u_{23} = 5 - 3\times 3 - (-5)\times (-4) = -24\)。

解 \(Ly = (14,18,20)^T\) 得 \(y = (14, -10, -72)^T\)，

解 \(Ux = (14, -10, -72)^T\) 得 \(x = (1,2,3)^T\)。

练习 第10页

求矩阵 \(A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 4 \\ 4 & 4 & 1 \\ 6 & 5 & 12 \end{bmatrix}\) 的 LU（Doolittle）分解。

解：\(u_{11} = 2, u_{12} = 1, u_{13} = 4\)，后续计算得：

得 \(\det(A) = 2 \cdot 2 \cdot 7 = 28\)。

作业题 第13页

1. 用二分法求方程 \(x^2 - x - 1 = 0\) 的正根，要求误差小于 0.05。

解：正根所在区间为 \([1,2]\)，由 \(\frac{1}{2^{k+1}} \leq 0.05\) 解得 \(k \geq 3.321\)，故 \(k = 4\) 或需要二分四步。

2. 为求方程 \(x^3 - x^2 - 1 = 0\) 在 \(x_0 = 1.5\) 附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式。

(1) \(x = 1 + \frac{1}{x^2}\)，迭代公式 \(x_{k+1} = 1 + \frac{1}{x_k^2}\)；

解：取 \(x_0 = 1.5\) 的邻域 \([1.3,1.6]\) 来考察。

当 \(x \in [1.3,1.6]\) 时，\(\phi(x) = 1 + \frac{1}{x^2} \in [1.3,1.6]\)，\(|\phi'(x)| = \left|-\frac{2}{x^3}\right| \leq \frac{2}{1.3^3} = L < 1\)，

故迭代式 \(x_{k+1} = 1 + \frac{1}{x_k^2}\) 在 \([1.3,1.6]\) 整体收敛。

作业题13 第14页

应用牛顿法于方程 \(f(x) = 1 - \frac{a}{x^2} = 0\)，导出求 \(\sqrt{a}\) 的迭代公式，并讨论收敛性和收敛阶。

解：\(f'(x) = \frac{2a}{x^3}\)，牛顿迭代公式为 \(x_{k+1} = x_k - \frac{1 - a/x_k^2}{2a/x_k^3} = \frac{1}{2a}(3ax_k - x_k^3)\)。

迭代函数 \(\phi(x) = \frac{1}{2a}(3ax - x^3)\)，\(\phi'(x) = \frac{1}{2a}(3a - 3x^2)\)，

\(\phi'(\sqrt{a}) = 0 < 1\)，故牛顿迭代法收敛。

又 \(\phi''(x) = -\frac{3x}{a}\)，\(|\phi''(\sqrt{a})| = \frac{3\sqrt{a}}{a} \neq 0\)，故迭代法的收敛阶为 2。

作业题14 第14页

应用牛顿法于方程 \(f(x) = x^n - a = 0\) 和 \(f(x) = 1 - \frac{a}{x^n} = 0\)，分别导出求 \(\sqrt[n]{a}\) 的迭代公式。并求

解：对于 \(f(x) = x^n - a\)，\(f'(x) = nx^{n-1}\)，牛顿迭代法为

由 \(\lim_{k\to\infty} \frac{x_{k+1} - x^*}{(x_k - x^*)^2} = \frac{f''(x^*)}{2f'(x^*)}\) 得

对于 \(f(x) = 1 - \frac{a}{x^n}\)，牛顿法公式为

P238,4 第15页

给定的函数 \(f(x)\)，设对一切 \(x\)，\(f'(x)\) 存在且 \(0 < m \leq f'(x) \leq M\)，证明对范围 \(0 < \lambda < 2/M\) 内的任意定数 \(\lambda\)，迭代过程 \(x_{k+1} = x_k - \lambda f(x_k)\) 均收敛与根 \(x^*\)。

证明：由迭代函数 \(\varphi(x) = x - \lambda f(x)\)，则 \(\varphi'(x) = 1 - \lambda f'(x)\)，

由 \(0 < m \leq f'(x) \leq M\) 和 \(0 < \lambda < 2/M\) 得 \(0 < \lambda m \leq \lambda f'(x) \leq \lambda M < 2\)，

从而 \(-1 < 1 - \lambda M \leq 1 - \lambda f'(x) \leq 1 - \lambda m < 1\)，

故 \(|\varphi'(x)| = |1 - \lambda f'(x)| < 1\)，

即 \(L = \max|\varphi'(x)| < 1\)，

\(|x_k - x^*| = |\varphi(x_{k-1}) - \varphi(x^*)| \leq \max|\varphi'(x)||x_{k-1} - x^*| \leq L^k |x_0 - x^*|\)，

即 \(\lim_{k\to\infty} x_k = x^*\)。

课后练习讲评 第2页

利用杜立特尔分解求矩阵 \(A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & 4 \\ 6 & 5 & 9 \end{bmatrix}\) 的 LU 分解。

令 \(l_{ij}, u_{ij}\) 分别为 L 和 U 的元素，则 \(l_{32} = \_\_\_\)，\(u_{33} = \_\_\_\)。

解：计算得 \(l_{32} = 2\)，\(u_{33} = 2\)。

单选题 第3页

下列矩阵中可约矩阵有几个（　）

例：矩阵 \(\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & -1 \end{bmatrix}\) 是可约矩阵。

例11 第6-7页

解线性方程组：

解：解 \(Ly = f\) 得 \(y = (\frac{7}{3}, \frac{40}{11}, \frac{205}{39}, 4)^T\)，

再解 \(Ux = y\) 得 \(x = (1, 2, 3, 4)^T\)。

例12 第8页

计算向量 \(x = (1, -2, 3)^T\) 的各种范数。

解：\(\|x\|_1 = 6\)，\(\|x\|_\infty = 3\)，\(\|x\|_2 = \sqrt{14}\)。

例5.6 第10页

设 \(A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -3 & 4 \end{pmatrix}\)，计算 A 的各种范数。

解：

\(\|A\|_1 = \max\{|1| + |-3|, |-2| + |4|\} = 6\)，

\(\|A\|_\infty = \max\{|1| + |-2|, |-3| + |4|\} = 7\)，

\(\|A\|_F = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-3)^2 + 4^2} \approx 5.477\)，

\(\|A\|_2 = \sqrt{\lambda_{\max}(A^T A)} = \sqrt{15 + \sqrt{221}} \approx 5.46\)。

填空题 第10页

如矩阵 \(A = \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{bmatrix}\)，则

\(\|A\|_1 = \_\_\_\)，\(\|A\|_2 = \_\_\_\)，\(\|A\|_\infty = \_\_\_\)。

课后练习讲评 第1-2页

2. 用追赶法求解三对角方程组：

求 \(\alpha_3\)（用分数表示）及此分解过程的计算量。

解：\(\alpha_1=4, \beta_1=-1/4, \gamma_2=-1, \alpha_2=15/4, \beta_2=-4/15, \gamma_3=-1, \alpha_3=56/15\)。

第3题 第2页

用追赶法求解三对角方程组，得到 \(y_1=1/2, y_2=1/3, y_3=1/4, y_4=1\)，再求解 \(Ux=y\) 得到 \(x_1=x_2=x_3=x_4=1\)。

例14 第4页

方程组

精确解为 \(x=(2,0)^T\)。若常数项微小变化为 \((2, 2.0001)^T\)，解变为 \((1,1)^T\)，说明是病态方程组。

例 第5页

方程组

精确解为 \(x=(1,1)^T\)。系数矩阵微小误差导致解变为 \(\hat{x}_1=\hat{x}_2=0.99975006\) 或 \(0.66666667\)，说明病态。

例15 第9页

分析方程组

解：\(\text{cond}_\infty(A)=\|A\|_\infty\|A^{-1}\|_\infty=23\times 230=5290\)，方程组病态。

例1 第8页

已知 \(\sqrt{81}=9, \sqrt{100}=10\)，利用拉格朗日插值求 \(\sqrt{90}\) 的近似值。

解：线性插值，\(x_0=81, y_0=9, x_1=100, y_1=10\)。

（实际 \(\sqrt{90}\approx 9.4868\)）

例2 第8页

求经过 \(A(0,1), B(1,2), C(2,3)\) 三个点的二次 Lagrange 插值多项式。

解：\(x_0=0,y_0=1; x_1=1,y_1=2; x_2=2,y_2=3\)。

简化得 \(L_2(x)=x+1\)。

例题 第10页

已知 \(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}, \sin\frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}, \sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，分别利用 \(\sin x\) 的 1 次、2 次 Lagrange 插值计算 \(\sin 50^\circ\) 并估计截断误差。

解：

● \(n=1\)：利用 \(x_1=\frac{\pi}{4}, x_2=\frac{\pi}{3}\) 计算

截断误差估计：\(|R_1(\frac{5\pi}{18})|\leq \frac{\max|f''(x)|}{2}|(\frac{5\pi}{18}-\frac{\pi}{3})(\frac{5\pi}{18}-\frac{\pi}{4})|\approx 0.0066\)

● \(n=2\)：利用 \(x_0=\frac{\pi}{6}, x_1=\frac{\pi}{4}, x_2=\frac{\pi}{3}\)

截断误差估计：\(|R_2(\frac{5\pi}{18})|\leq \frac{\max|f'''(x)|}{6}|(\frac{5\pi}{18}-\frac{\pi}{6})(\frac{5\pi}{18}-\frac{\pi}{4})(\frac{5\pi}{18}-\frac{\pi}{3})|\approx 0.00077\)

（实际 \(\sin 50^\circ=0.7660444...\)）

课后练习讲评 第1页

1. 利用 \(\sqrt{100}=10, \sqrt{144}=12\) 做线性插值，则 \(\sqrt{115}=\) （精确到小数点后四位）
2. 依据如下函数值表建立不超过 3 次的拉格朗日插值多项式：

   xk	0	1	2	4
   f(xk)	1	9	23	3

3. 证明 \(\sum_{i=0}^n l_i(x_j)=\delta_{ij}\) 等性质。
4. 已知 \(f(x)=2x+1\)，过点 \((1,3),(2,5)\) 构造 \(L_1(x)\)，则 \(L_1(1.5)=\underline{4}\)，截断误差为 \(\underline{0}\)。

例3 第3页

证明 \(\sum_{i=0}^5 (x_i-x)^2 l_i(x)=0\)，其中 \(l_i(x)\) 是关于点 \(x_0,x_1,\dots,x_5\) 的插值基函数。

证明：

练习 第8页

给出函数 \(y=f(x)\) 的函数表写出差商表：

解：差商表为

例5 第10页

依据如下函数值表建立不超过 3 次的拉格朗日插值多项式及牛顿插值多项式 \(P_n(x)\)，并验证插值多项式的唯一性。

解：

(1) 拉格朗日插值多项式

(2) 牛顿插值多项式，差商表为

(3) 唯一性验证：\(P_n(x)=L_n(x)\)。

练习 第11页

给出函数 \(y=f(x)\) 的函数表写出差商表，并求一次、二次、三次插值多项式：

解：

习题课 第15-17页

1. 方程组：

判断 Jacobi 和 G-S 迭代的收敛性。

解：严格对角占优矩阵，J 和 G-S 迭代均收敛。

2. 方程组：

判断收敛性。

解：\(A\) 对称正定，故高斯-塞德尔法收敛，Jacobi 法发散（\(\Delta_3<0\)）。

3. 迭代矩阵 \(B\) 的特征值为 \(0\)，谱半径 \(\rho(J)=0<1\)，所以 J 法收敛。

4. 已知 G-S 迭代矩阵，计算特征值 \(\lambda_1=\lambda_2=2, \lambda_3=0\)，谱半径 \(\rho(G)=2>1\)，所以 G-S 法不收敛。

课后练习点评 第1页

设 \(x_i(i=0,1,2,3)\) 为互异节点，\(l_i(x)\) 为对应的 3 次拉格朗日插值多项式的基底函数，则 \(\sum_{i=0}^3 (x_i^3+x_i^2+1)l_i(0)=\_\_\_\)。

练习5 第2页

设前两个节点的牛顿插值多项式为 \(N_1(x)\)，前三个为 \(N_2(x)\)，四个为 \(N_3(x)\)，则

差商表为：

单选题 第2页

已知 \(y=f(x)\) 的一组值：

求 2 次（前三个节点）和 3 次的 Newton 插值多项式 \(N_2(x)\) 和 \(N_3(x)\)，并计算 \(f(2)\) 的近似值。

解：差商表为

例 第7-8页

给定 \(f(x)=x^{3/2}, x_0=\frac{1}{4}, x_1=1, x_2=\frac{9}{4}\)，求三次埃尔米特插值多项式 \(P(x)\)，满足

并写出余项表达式。

解：\(f_0=\frac{1}{8}, f_1=1, f_2=\frac{27}{8}, f'(1)=\frac{3}{2}\)。

构造均差表，得

由 \(P'(1)=\frac{3}{2}\)，得 \(A=-\frac{14}{225}\)。

余项：

例9 第11页

已知 \(f(-1)=0, f(1)=4, f'(-1)=2, f'(1)=0\)，求满足这些条件的 Hermite 插值多项式。

解：

练习 第12页

已知 \(f(0)=0, f(1)=1, f'(0)=3, f'(1)=9\)，求满足这些条件的 Hermite 插值多项式。

解：

牛顿形式：

课后练习点评 第1页

3. 已知 \(f(-1)=0, f(1)=4, f'(1)=2, f'(1)=0\)（注：应为 \(f'(-1)=2, f'(1)=0\)），满足的埃尔米特插值多项式为 \(H_3(x)\)，则 \(H_3(0)=(　)\)。

4. 已知 \(f(0)=1, f(1)=3, f'(1)=4, f(2)=9\)，满足的埃尔米特插值多项式为 \(H_3(x)\)，则 \(H_3(1/2)=(　)\)。

第3题解答 第2页

均差表：

第4题解答 第2页

均差表：

例10 第6页

已知 \(f(-2)=17, f(0)=1, f(1)=2, f(2)=19\)，试做分段线性插值计算 \(f(0.9)\) 和 \(f(1.5)\)。

解：

网上课后练习点评 第1页

3. 设 \(f(-1)=2, f(0)=1, f(1)=2, f(2)=5\)，试做分段线性插值分别计算 \(f(0.5)\) 和 \(f(1.5)\) 的近似值：

\(f(0.5)\approx (\quad)\)，\(f(1.5)\approx (\quad)\)

4. \(f(x)=x^{5/2}\) 在 \([4,9]\) 上的分段线性插值为 \(I_n(x)\)，则 \(I_n(x)\) 的误差估计为（　）

分析：\(f''(x)=\frac{15}{4}\sqrt{x}, M_2=\frac{45}{4}\)，\(\max|f(x)-I_n(x)|\leq \frac{45}{32}h^2\)。

5. 函数 \(f(x)=x\in C[0,1]\) 的 \(\|f\|_\infty, \|f\|_1, \|f\|_2\) 分别为（　）

例5 第12页

设 \(f(x)=\sqrt{1+x^2}\)，求 \([0,1]\) 上的一次最佳平方逼近多项式。

解：\(\phi=H_n=\text{span}\{1,x\}\)，法方程 \(Ha=d\)

法方程：

解得 \(a_0=0.934, a_1=0.426\)，故 \(S_1^*(x)=0.934+0.426x\)。

平方误差 \(\|\delta(x)\|_2^2=0.0026\)。

练习 第12页

试在 \(H_1(x)=\text{span}\{1,x\}\) 中寻找对于函数 \(f(x)=\sqrt{x}([0,1])\) 的最佳平方逼近多项式 \(P_1(x)\) 并计算其平方误差。

解：设 \(P_1(x)=a_0+a_1x\)

练习 第13页

试在 \(H_1(x)=\text{span}\{1,x\}\) 中寻找对于函数 \(f(x)=\sqrt{x}([1,2])\) 的最佳平方逼近多项式 \(P_1(x)\) 并计算其平方误差。

第5题解答 第14页

解：令所求的多项式为 \(S(x)=a+bx\)，取 \(\phi_0(x)=1, \phi_1(x)=x\)，法方程为：

由 \((\phi_0,\phi_0)=\int_1^2 dx=1\)，\((\phi_0,\phi_1)=(\phi_1,\phi_0)=\int_1^2 xdx=\frac{3}{2}\)，\((\phi_1,\phi_1)=\int_1^2 x^2dx=\frac{7}{3}\)

\((f,\phi_0)=\int_1^2\sqrt{x}dx=\frac{4}{3}\sqrt{2}-\frac{2}{3}\)，\((f,\phi_1)=\int_1^2 x\sqrt{x}dx=\frac{8}{5}\sqrt{2}-\frac{2}{5}\)

法方程：

解得 \(a=\frac{128}{15}\sqrt{2}-\frac{172}{15}, b=-\frac{24}{5}\sqrt{2}+\frac{36}{5}\)

故 \(S(x)=\frac{128}{15}\sqrt{2}-\frac{172}{15}+\left(-\frac{24}{5}\sqrt{2}+\frac{36}{5}\right)x\)

\(\|\delta(x)\|_2^2=\|f(x)\|_2^2-\sum_{k=0}^n a_k^*(\phi_k(x),f(x))\)

网上课后练习点评 第1页

期末考试真题：

4. 求 \(f(x)=x^2\) 在 \([0,1]\) 上的一次最佳平方逼近多项式。

5. 求函数 \(f(x)=\ln x\) 在 \([1,2]\) 上对于 \(\Phi=\text{span}\{1,x\}\) 的最佳平方逼近多项式。注：要求有过程，结果用含 \(\ln\) 的式子表示即可。

3. 下列说法正确的是（　）

第4题解答 第2页

求 \(f(x)=x^2\) 在 \([0,1]\) 上的一次最佳平方逼近多项式。

解：令所求的多项式为 \(S(x)=a+bx\)，取 \(\phi_0(x)=1, \phi_1(x)=x\)

法方程：

由 \((\phi_0,\phi_0)=\int_0^1 dx=1\)，\((\phi_0,\phi_1)=(\phi_1,\phi_0)=\int_0^1 xdx=\frac{1}{2}\)，\((\phi_1,\phi_1)=\int_0^1 x^2dx=\frac{1}{3}\)

\((f,\phi_0)=\int_0^1 x^2dx=\frac{1}{3}\)，\((f,\phi_1)=\int_0^1 x^3dx=\frac{1}{4}\)

法方程：

解得 \(a=-\frac{1}{6}, b=1\)，故 \(S(x)=-\frac{1}{6}+x\)。

第5题解答 第3页

求函数 \(f(x)=\ln x\) 在 \([1,2]\) 上对于 \(\Phi=\text{span}\{1,x\}\) 的最佳平方逼近多项式。

解：\(\Phi=\text{span}\{1,x\}\)

解得 \(a_0=20\ln 2-\frac{29}{2}, a_1=9-12\ln 2\)

例7 第8页

已知一组实验数据如下，求它的一次多项式拟合曲线。

解：令 \(S_1(x)=a_0+a_1x\)，选择基函数 \(\phi_0(x)=1, \phi_1(x)=x\)

法方程：

解得 \(a_0=2.77, a_1=1.13\)，\(S_1^*(x)=2.77+1.13x\)。

练习 第8-9页

假定通过观测或实验得到如下一组数据：

试求 \(y(x)\) 的一次多项式拟合曲线。

解：选择基函数 \(\phi_0(x)=1, \phi_1(x)=x\)，设 \(y(x)=a+bx\)

法方程：

解得 \(a=1.142, b=0.110\)，\(y(x)=1.142+0.110x\)。

课堂练习 第10页

利用最小二乘法求下面数据的线性拟合函数：

解：设 \(S(x)=a_0+a_1x, \phi_0(x)=1, \phi_1(x)=x\)

法方程：

解得 \(a_0=2, a_1=1\)，\(S(x)=2+x\)。

例8 第11-12页

设数据 \((x_i,y_i)(i=0,1,2,3,4)\) 由表 3-2 给出，通过描点可以看出数学模型为 \(y=ae^{bx}\)，用最小二乘法确定 \(a\) 及 \(b\)。

解：两边取对数 \(\ln y=\ln a+bx\)，令 \(\bar{y}=\ln y, A=\ln a\)，则得 \(\bar{y}=A+bx\)，\(\phi=\text{span}\{1,x\}\)。

转化数据：

法方程解得 \(A=1.122, b=0.505, a=e^A=3.071\)

最小二乘拟合曲线为 \(y=3.071e^{0.505x}\)。

补充：用最小二乘法求超定方程组 第13页

转化为最小二乘问题：

例1 第2页

求解方程组

方程组的精确解是 \(x^*=(3,2,1)^T\)。

解：改写为迭代格式：

取 \(x^{(0)}=(0,0,0)^T\)，迭代到第 10 次有 \(x^{(10)}=(3.000032,1.999838,0.9998813)^T\)，\(\|\epsilon^{(10)}\|_\infty=0.000187\)。

思考题 第3页

是不是迭代法得到的向量序列都是收敛到精确解的呢？

例如方程组

构造迭代法，对任何的初始向量，得到的序列都不收敛。

课后练习讲评 第1页

1. 下列说法错误的是（　）

2. 解方程组 \(Ax=b\) 的一阶定常迭代法 \(x^{(k+1)}=Bx^{(k)}+f\) 收敛的充分条件是（　）

3. 构造线性方程组

的两个迭代格式分别为：

(1) \(x^{(k+1)}=B_1x^{(k)}+f_1\)，(2) \(x^{(k+1)}=B_2x^{(k)}+f_2\)

其中 \(B_1=\begin{pmatrix}0 & -2 & 2 \\ -1 & 0 & -1 \\ -2 & -2 & 0\end{pmatrix}, f_1=\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix}\)，\(B_2=\begin{pmatrix}0 & -2 & 2 \\ 0 & 2 & -3 \\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}, f_2=\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}\)

分别判断其收敛性：

1) 迭代法(1)是 \_\_\_\_（收敛/发散）

2) 迭代法(2)是 \_\_\_\_（收敛/发散）

3) 若选初值为 \(x^{(0)}=(0,0,0)^T\)，则用迭代法(1)迭代两次得到的迭代序列为 \(x^{(2)}=(x_1^{(2)},x_2^{(2)},x_3^{(2)})^T\)，其中 \(x_1^{(2)}=\) \_\_\_\_

解：迭代法(1)特征值 \(\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0\)，\(\rho(J)=0<1\)，收敛；迭代法(2)发散。

例2 第3-4页

用雅可比迭代求解线性方程组，写出分量形式，并讨论收敛性。

方程组的精确解为 \(x^*=(1,1,1)^T\)。

解：

方法一：\(\rho(J)<\|J\|_1=0.6<1\)

方法二：特征值的模为 \(0.10, 0.39, 0.39\)，则 \(\rho(J)=0.39<1\)，故雅可比迭代法收敛。

取初始向量 \(x^{(0)}=(0,0,0)^T\)，迭代结果：

迭代 7 次得到精确到小数点后两位的近似解。

例2 第6-7页

用 G-S 迭代求解线性方程组，并讨论收敛性。

解：

特征值为 \(0.0, 0.049, -0.183\)，则 \(\rho(G)=0.183<1\)，故高斯-赛德尔迭代收敛。

G-S 迭代法的计算公式为：

取 \(x^{(0)}=(0,0,0)^T\)，计算结果：

G-S 迭代法收敛较快，迭代 3 次即可，而 J 迭代法需要 7 次。

练习 第8-9页

设线性方程组

写出 Jacobi 迭代和 G-S 迭代求解该方程组的分量计算格式，讨论收敛性。

解：

Jacobi 迭代的计算格式：

G-S 迭代的计算格式：

由矩阵 A 为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代和高斯-赛德尔迭代法都是收敛的。

例10 第11页

用 SOR 方法解方程组

精确解为 \(x^*=(-1,-1,-1,-1)^T\)。

解：取 \(x^{(0)}=0\)，取 \(\omega=1.3\)，第 11 次迭代结果为 \(\|\epsilon^{(11)}\|_2\leq 0.46\times 10^{-5}\)。

取其他 \(\omega\) 值，迭代次数如下表：

本例中 \(\omega=1.3\) 是最佳松弛因子。

课后练习讲评 第1-2页

2. 构造线性方程组

的雅可比迭代和高斯-赛德尔迭代法，并分别判断其收敛性。

解：

雅可比迭代法：\(B_J=D^{-1}(L+U)\)，特征值 \(\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0\)，\(\rho(J)=0<1\)，收敛。

高斯-赛德尔迭代法：\(G=(D-L)^{-1}U\)，特征值 \(\lambda_1=\lambda_2=2, \lambda_3=0\)，\(\rho(G)=2>1\)，发散。

若选初值为 \(x^{(0)}=(0,0,0)^T\)，则用雅可比迭代法迭代两次得到的迭代序列中 \(x_3^{(2)}=-\frac{1}{2}\)。

3. 构造线性方程组

分别判断其收敛性。

解：

雅可比迭代法：特征值 \(\lambda_1=1, \lambda_2=-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{15}{6}}i, \lambda_3=-\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{15}{6}}i\)，\(\rho(J)=1\)，发散。

高斯-赛德尔迭代法：特征值 \(\lambda_1=\lambda_2=0, \lambda_3=1\)，\(\rho(G)=1\)，发散。

练习 第5页

说明用 J 法和 G-S 法求解下列方程组的收敛性：

解：

计算特征值：J 法收敛

计算特征值：G-S 法

例 第5页

说明用 J 法和 G-S 法求解下列方程组的收敛性：

解：A 是正定的，故 G-S 迭代收敛。\(2D-A\) 不是正定的，故雅可比迭代不收敛。

例10 第6页

在线性方程组 \(Ax=b\) 中 \(A=\begin{pmatrix}1 & a & a \\ a & 1 & a \\ a & a & 1\end{pmatrix}\)，证明当 \(-\frac{1}{2}<a<1\) 时高斯-赛德尔法收敛，而雅可比迭代法只在 \(-\frac{1}{2}<a<\frac{1}{2}\) 时才收敛。

证明：由 A 的顺序主子式

当 \(-\frac{1}{2}<a<1\) 时，A 正定，故高斯-赛德尔法收敛。

雅可比迭代：

当 \(|a|<\frac{1}{2}\) 时雅可比法收敛。

习题课7 第8页

用列主元消去法求解线性方程组

解：\(x=(1,2,3)^T, |A|=(-1)\times(-18)\times(-1)\times\frac{7}{6}\times\frac{22}{7}=-66\)。

习题课8 第9页

用直接三角分解求解线性方程组

并求出系数矩阵 A 的行列式。

解：\(A=LU\)，解得 \((y_1,y_2,y_3)^T=(9,-4,-154)^T\)，得 \((x_1,x_2,x_3)^T=(227.04,476.88,-177.69)^T\)。

习题课9 第9页

用追赶法求解三对角方程组 \(Ax=b\)，其中

解：

解 \(Ly=b\)，得 \(\bar{y}^T=(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5},\frac{1}{6})^T\)，

解 \(Ux=\bar{y}\)，得 \(\bar{x}^T=(\frac{5}{6},\frac{2}{3},\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{6})^T\)。

条件数 第10页

条件范数 \(\text{cond}(A)_v, (v=\infty,2)\)

解得特征值为 \(\lambda_1=99+\sqrt{9802}, \lambda_2=99-\sqrt{9802}\)

由矩阵 A 为对称矩阵则